وجود جواب تناوبی برای معادله دیفرانسیل رسته سوم غیرخطی با استفاده از قضایای نقطه ثابت و تئوری درجه

یکی از مسائل مهم در معادلات دیفرانسیل، وجود جواب تناوبی می باشد. که این مسئله اولین بار توسط پوانکاره در زمینه مکانیک سماوی مطرح گردید و یکی از قضایای جالب در این مورد، قضیه پوانکاره - بندیکسون می باشد.این قضیه مورد توجه بسیاری از محققین قرار گرفت اما متاسفانه این قضیه در بسیاری از موارد مخصوصا برای معادلات مرتبه دوم به بالا کارائی زیادی ندارد و کاربرد آن نسبتا مشکل است زیرا وجود جواب تناوبی در این قضیه ثابت می شود ولی در مورد تناوب، جواب تناوبی مطالبی گفته نمی شود.پس از آنکه قضایای نقطه ثابت توسط دانشمندان مشهور، باناخ، شاودر، براور، تیخونوف اثبات گردید، مسئله وجود جواب تناوبی تولدی تازه یافت و مشاهده شد که وجود جواب تناوبی را میتوان از وجود جواب غیربدیهی (غیرصفر) که شرایط مرزی تناوبی را ارضا می کنند. ثابت نمود. جالب توجه است که در این نوع مسائل مخصوصا غیر آتاناموس، می توان معادله دیفرانسیل را توسط تابع گرین به معادلات انتگرالی تبدیل نمود و سپس با استفاده از قضایای نقطه ثابت، وجود جواب را ثابت نمود.ما دراین رساله معادله دیفرانسیل رسته سوم غیر خطی، که کاربرد آن در علوم مهندسی بسیار زیاد است را بصورت اسکالر و برداری در نظر گرفته ایم.بطور کلی این پروژه شامل سه فصل است، فصل نخست آن درباره قضایای نقطه ثابت و قضیه تابع ضمنی می باشد که قضایای نقطه ثابت را میتوان شروع کار قضیه تابع ضمنی دانست. فصل دوم شامل نظریه درجه برآور میباشد و نشان داده می شود که ارتباط نزدیکی بین قضایای نقطه ثابت و نظریه درجه وجود دارد و در فصل سوم با استفاده از قضیه نقطه ثابت و تابه ضمنی شرایطی برای وجود جواب تناوبی برای معادله دیفرانسیل غیرخطی مرتبه سوم بدست می آوریم.